GAMES101-Lecture 2 线性代数

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现代计算机图形学入门-闫令琪，课程笔记。

Lecture 2 线性代数基础知识复习 (Review of Linear Algebra)

为什么要学线性代数？因为计算机图形学依赖很多基础知识，包括数学上的线性代数、微积分、统计；物理上的光学、力学等等。这些知识点都会穿插在这门课中进行讲解。

今天的课程，主要是讲线性代数中的向量、矩阵，包括向量的表示、点乘、叉乘，矩阵的变幻等等，属于是应用在计算机图形学中比较多且基础的一些知识点。

向量 Vectors

向量：同时具有大小和方向的几何对象。

  • 如何表示：a⃗\vec{a} 或者 a\boldsymbol{a}
  • 另一种表示方法： AB⃗=B−A\vec{AB}=B-A
  • 不需要关心向量的起点和位置，只关心大小和方向。比如 a⃗\vec{a} 平移之后得到 a′⃗\vec{a'} ，两个向量位置不同，但大小和方向相同，所以是同一个向量。

向量长度/单位向量

  • 向量大小（长度）这样表示： ∣∣a⃗∣∣||\vec{a}||
  • 单位向量 (Unit vector)
    • 长度为 1 的向量
    • 表示方法：a^\hat{a}
    • 如何计算：向量除以自身的长度 a^=a⃗/∣∣a⃗∣∣\hat{a}=\vec{a}/||\vec{a}||
    • 常用来表示方向

向量求和 Vector Addition

几何学的方法，两个法则：

  • 平行四边形法则：两个向量放在同一起点，平移两个使其首尾相连形成平行四边形，连接四边形的对角即是向量的和。
  • 三角形法则：向量首尾相接，向量的最开始点和结束点相连。

代数的方法：使用笛卡尔坐标系。

如图，使用 X、Y 可以表示任意的向量。而且这种方式计算比较方便计算向量的长度：

∣∣A∣∣=x2+y2||A||=\sqrt{x^2+y^2}

向量求积 Vector Multiplication

向量由于有方向，所以与数字的求积不太一样。

点乘 Dot product

  • 定义：两个向量的长度相乘，再乘以他们之间夹角的余弦。a⃗⋅b⃗=∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣cosθ\vec{a}·\vec{b} = ||\vec{a}||||\vec{b}||cos\theta
  • 上面公式可以推导出：cosθ=a⃗⋅b⃗∣∣a⃗∣∣∣∣b⃗∣∣cos\theta=\frac{\vec{a}·\vec{b}}{||\vec{a}||||\vec{b}||}
  • 如果 a、b 是单位向量的话，那么分母是 1，即：cosθ=a^⋅b^cos\theta=\hat{a}·\hat{b}
  • 交换律：a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a}·\vec{b} = \vec{b}·\vec{a}
  • 分配律：a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\vec{a}·(\vec{b}+\vec{c}) = \vec{a}·\vec{b}+\vec{a}·\vec{c}
  • 结合律：(ka⃗)⋅b⃗=a⃗⋅(kb⃗)=k(a⃗⋅b⃗)(k\vec{a})·\vec{b} = \vec{a}·(k\vec{b}) = k(\vec{a}·\vec{b})

直角坐标系下向量的点乘计算方式：

  • 2D: a⃗⋅b⃗=(xaya)⋅(xbyb)=xaxb+yayb\vec{a}·\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b

  • 3D: a⃗⋅b⃗=(xayaza)⋅(xbybzb)=xaxb+yayb+zazb\vec{a}·\vec{b} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ z_a \\ \end{pmatrix} · \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \\ \end{pmatrix} = x_ax_b + y_ay_b + z_az_b

向量点乘在计算机图形学中的应用：

  • 找到两个向量/方向之间的夹角
  • 找到夹角基于可以计算向量的投影
  • 有投影就可以对向量进行分解（点乘的逆运算）
  • 如下图：比较 a⃗⋅b⃗\vec{a}·\vec{b} 和 a⃗⋅c⃗\vec{a}·\vec{c} 可以判断哪个向量离 b 更近。判断点乘的结果是大于/小于 0，可以判断方向是向上/向下。

叉乘 Cross product

  • 如图所示，叉乘与点乘完全不同
  • 叉乘的结果 c 与 ab 都垂直（即垂直于 ab 所在的平面）
  • 可以使用右手螺旋定则来确定 c 的方向
    • a x b, 四指沿着 a 方向，弯曲到 b 方向，大拇指的指向即是 c 的方向
    • b x a 则相反（不满足交换律）
  • 叉乘常用于建立三维空间的直角坐标系

直角坐标系下向量的叉乘计算方式：

向量叉乘在计算机图形学中的应用：

  • 判断向量 b 在 a 的哪一侧（左/右）
    • 如左图，使用 a x b，叉乘结果是正数说明在左侧
  • 判断一个点与三角形的位置关系（内/外）
    • 如右图，先判断 p 点与三个向量 abc 的关系，如果 p 均在三个向量的左侧，那就是在三角形内部，反之则是外部。

矩阵 Matrices

数学上，一个 (M x N) 的矩阵是一个由 M 行 N 列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。

矩阵的乘积

  • 相乘的条件
    • 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，(M x N) (N x P) = (M x P)。
  • 如何计算
    • 比如下图的结果 26，位于矩阵的2行4列，去第一个矩阵找对应的行，第二个矩阵找对应列，然后作为向量进行点乘。5x4+2x3=26.

矩阵的性质

  • 没有交换律：AB ≠ BA
  • 结合律：(AB)C = A(BC)
  • 分配律：A(B+C) = AB + AC，(A+B)C = AC + BC

矩阵的转置

行列互换，行变成列，列变成行。

如果两个矩阵相乘之后做转置，等于把两个矩阵调换位置之后分别做转置。

以矩阵表示向量乘积

  • 点乘
  • 叉乘